Números primos

Voy a empezar este blog con una entrada sobre los números primos. ¿Por qué empezar con esto? Muy fácil, cuando alguien piensa en matemáticas lo primero que piensa es en números, así que hoy vamos a conocer un poco más acerca de ellos, y además, como decían los Pitagóricos “El número gobierna el Universo”.

Hablemos pues de los números primos, que son los más cercanos a nuestra “familia”. Un número primo p es aquel que sólo es divisible por 1 y por él mismo, es decir, si hacemos la división del número p dará como resto 0 cuando se divide por él y por 1. Con esta definición el 1 no es hijo de nuestros tíos :( Los primeros números primos son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…

Euclides ya demostró que los números primos son infinitos:
http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/primos/infinitos_primos.htm, sin embargo, el mayor número primo conocido tiene 17.425.170 dígitos y corresponde al número 2^57.885.161-1 (el símbolo ^ significa elevado) que ocupa más de 13000 hojas de papel A4 y fue descubierto por el Dr. Curtis Cooper en 2013. Por si te apetece encontrar algún primo más, la Electronic Frontier Foundation ofrece US$ 150.000 y US$ 250.000 para los primeros que encuentren un número primo de 100 y 1.000 millones de dígitos respectivamente. ¡A buscar!

Si nos fijamos, el último primo conocido tiene la forma de $$2^n-1$$, donde en este caso n=57.885.161, pues bien los números de esta forma se llaman números de Mersenne, gracias al filósofo Marin Mersenne del siglo XVII, y si este número es primo se conoce como primo de Mersenne. No obstante, no todos los números de Mersenne son números primos, ya que para n=4 tendríamos el número 15, que no es primo (15=3·5). Hasta la fecha se conocen 47 números primos de Mersenne, de los cuales los últimos 13 se han descubierto por GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Para más información sobre GIMPS http://www.mersenne.org/default_20140215.php.

Hay otros números primos que también tienen nombre de matemático, como son los números primos de Fermat, en honor a Pierre de Fermat que fue el primero que los estudió. Para ello, un número de Fermat es de la forma $$2^{2^n}+1$$, y cuando este número es primo se dice primo de Fermat. Cuando Fermat los estudió pensaba que para todo número natural n estos números eran primos, sin embargo Leonhard Euler lo desmintió después de la muerte de Fermat.

Hasta la fecha únicamente se conocen cinco números primos de Fermat, que corresponden para n=0, 1, 2, 3, 4 es decir, los números 3, 5, 17, 257 y 65537 respectivamente. Lo que demostró Euler es que el número que corresponde cuando n=5, el 4294967297 no es primo ya que es igual a 641·6700417. Las dudas que surgen en este momento, todavía sin resolver, son:

•  ¿Hay infinitos primos de Fermat?
•  ¿Hay algún primo de Fermat para n>5?

Los últimos primos con nombre de matemático que voy a presentar son los primos de Sophie Germain, llamados así gracias a la matemática Sophie Germain, la cual se hacía llamar monsieur LeBlanc para que los matemáticos de la época le hicieran caso (otro día hablaremos de ella). Bien, un número p es primo de Sophie Germain si el número 2p+1 también es primo. Por ejemplo, el número 7 no lo es porque 2·7+1=15 que no es primo, pero el 11 sí que lo es porque 2·11+1=23 que es primo. El mayor número conocido de esta forma tiene 200701 dígitos y fue descubierto en 2012.

Para acabar con los números primos por hoy hablaremos de los primos gemelos (todo queda en familia), que simplemente son pares de números primos que distan dos unidades entre ellos, como por ejemplo (3,5), (5,7), (17,19), (29,31),…Cabría esperar, ya que los números primos son infinitos, que los primos gemelos fueran también infinitos, o por el contrario, como la distancia entre dos números primos consecutivos cada vez es mayor, entonces no pueden ser infinitos. No obstante, esto todavía es una conjetura, es decir, no se ha demostrado que existan infinitas parejas de primos gemelos (ni finitas).

Una última curiosidad sobre los primos gemelos es que la suma de los inversos de los números primos gemelos converge a 1’902160583104… cuyo número se conoce como constante de Brun en honor a Viggo Brun que fue el descubridor de dicha convergencia, es decir:

$$B_2=\left (\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right )+\left (\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right )+\left (\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right )+…=1’902160583104…$$

¡Hasta aquí el primer post serio! Espero que te haya gustado, nos vemos en el siguiente!!!