Hablemos de
la paradoja inventada por el matemático David
Hilbert (nacido en Königsberg, ¿te suena la ciudad?) que se conoce como el hotel infinito de Hilbert (aunque lo
vamos a adaptar a la situación de nuestros amigos Los Simpson).
El alcalde Quimby quiere construir
el motel más grande del mundo porque tanto él como sus muchos amigos (políticos
o no) quieren tener un motel donde ir con sus amantes y que siempre tengan una
plaza libre.
Estando con los constructores empiezan a decir cifras de habitaciones, pero cada vez que dicen un número de habitaciones encuentran un número mayor de habitaciones (estamos en los números naturales claro), hasta que uno dice, hagamos un motel con infinitas habitaciones. Se quedan todos callados y claro está que si es infinito no pueden hacer un motel más grande, así que eso es lo que hacen, el Sleep-Eazy Motel (lo podemos ver en la imagen).
Ya que el motel es infinito, los
constructores aseguran que siempre siempre va a haber una habitación para un
nuevo huésped, pero ponen una condición, que si se les pide tienen que cambiar
de habitación. El alcalde encantado con la propuesta de los constructores y
llevan adelante el motel para él y todos sus amigos.
El problema (la paradoja de
Hilbert) viene cuando el alcalde Quimby llega a su motel y se encuentra con lo
que pone en la imagen (No vacancy = no hay plazas). Asustado por lo que acababa
de leer y porque el motel era infinito (¿cómo puede estar lleno?) y tenían asegurada
su habitación, el alcalde llega a recepción y pregunta por una habitación (con
poca esperanza). Sin embargo el recepcionista le dice que no se preocupe, que
en breve le da las llaves de la habitación. En ese momento el recepcionista
comunica lo siguiente por megafonía:
Señores clientes, sintiendo las molestias van a tener que cambiar de
habitación, su nueva habitación es la que es un número siguiente a la que
tienen ahora. Señor Quimby, su habitación es la número 1.
¿Qué ha pasado aquí? ¿Pero no
estaba lleno? ¿Cómo es posible que tengan todos habitación y Quimby esté en la
número 1? Expliquémoslo, el que se encuentra en la habitación 1 va a la 2
(quedando la 1 libre para Quimby), el de la 2 a la 3, el de la 3 a la 4, y así
sucesivamente. Pero, ¿qué ocurre con el que está en la última habitación? Muy
sencillo, recordemos que el motel es infinito, luego no hay última habitación.
¿Sorprendido? Bien, esto no acaba
aquí, ya que si en lugar de llegar el alcalde Quimby él solo llega con sus
infinitos amigos que van con las amantes y el motel muestra el cartel de no hay
habitaciones libres, ¿el recepcionista les puede dar una habitación a todos? La
respuesta sigue siendo que sí, ya que informa por megafonía lo siguiente:
Señores clientes, sintiendo las molestias van a tener que cambiar de
habitación, para saber su nueva habitación solamente han de multiplicar su
número de habitación por dos y esa será su habitación. Señor Quimby y amigos,
sus habitaciones son las de número impar, elija cada uno la que más le guste.
¡Lo ha vuelto a hacer el
recepcionista! Sin embargo, esta vez te dejo a ti meditar y pensar porqué todos
los infinitos nuevos clientes tienen habitación y los que ya estaban también
(aunque ya te lo he dicho casi todo yo).
Por último, llegan infinitos
autobuses y en cada autobús hay infinitos pasajeros que buscan habitación en el
motel (el cual no tiene habitaciones libres). ¿A qué habitación va cada uno
(los que ya estaban y los nuevos) para tener todos habitación? Esto ya te lo
dejo a ti, aunque no es una tarea sencilla.
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