Hasta ahora hemos situado el
problema, pero, ¿qué problema había en esta ciudad? Pues bien, se cuenta que la
gente de la ciudad se divertía de una forma muy peculiar “salir de una zona de
la ciudad, ir paseando y tenían que pasar por todos los puentes una única vez y
volver al lugar del que partían”. Bien, ningún ciudadano lo consiguió, ni lo
conseguiría ahora ninguno (si no te lo crees inténtalo y/o sigue leyendo), la
cuestión es: ¿Por qué?
La respuesta a este problema la dio
Leonhard Euler en 1736 iniciando de
esta manera con la teoría de grafos.
Antes de seguir con la demostración de Euler, vamos a dar una sencilla
explicación de lo que es un grafo. Un grafo viene dado por un conjunto de
vértices (puntos) y de ejes (líneas) donde cada eje está unido a uno o dos vértices. Veamos algún
ejemplo:
Una vez que sabemos lo que es un
grafo, ¿qué relación tiene esto con el problema que tenían los ciudadanos de
Königsberg? La clave principal está en que a partir del mapa de la ciudad con
sus siete puentes, Euler dibujó un grafo en el que cada zona de la ciudad era
un vértice y cada puente era un eje:
Para saber que no podemos pasar por
todos los puentes (ejes) daremos un par de definiciones previas:
Grado de un vértice: el número de ejes incidentes con él, es
decir, el número de ejes que tocan un cierto vértice. Por ejemplo, el vértice C
tiene grado 3 y el vértice A grado 5.
Grafo conexo: un grafo en el que no hay vértices sueltos, sino que
todos los vértices están unidos a al menos otro vértice.
Grafo Euleriano: grafo conexo en el que existe un camino (recorrido pasando por los ejes y los vértices) que contiene
todos los ejes pero sólo una vez.
La última definición es la clave
del problema, ya que si el grafo que corresponde a la ciudad de Königsberg no
es Euleriano, entonces no podremos encontrar el camino deseado que buscaban los
ciudadanos de aquella ciudad. Para ello utilizaremos el siguiente teorema:
Sea un grafo conexo con todos sus
vértices de grado par o con dos vértices de grado impar. Entonces, el grafo es
Euleriano.
Con este teorema vamos a ver que el
grafo de la ciudad no es Euleriano. Para ello contemos el grado de cada
vértice:
Vértice
|
Grado
|
A
|
5
|
B
|
3
|
C
|
3
|
D
|
3
|
Observamos entonces que todos los
vértices tienen grado impar, con lo que tenemos que nuestro grafo de la ciudad
de Königsberg no es Euleriano, luego no podemos encontrar un camino que pase
únicamente una vez por cada puente y volvamos al sitio de partida. Así pues,
menos mal que llegó Euler porque sino aún estaríamos paseando por los puentes
sin encontrar el camino que queríamos.
He aquí un ejemplo de cómo las
matemáticas han ayudado a resolver problemas reales de la gente. Además, es
fácil demostrar que si en la ciudad hubieran tenido un puente más, sí que
podrían haber hecho el recorrido que buscaban (ya tienes faena).
Si
esto último te parece complicado, aquí te dejo otro ejercicio, ¿se puede
dibujar el siguiente dibujo sin levantar el lápiz del papel y pasando sólo una
vez por cada línea? (No hay que dibujarlo, sólo decir si se puede)
¡Nos vemos pronto!
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